Turunan Fungsi Implisit

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Dalam kalkulus, saat memiliki persamaan untuk y yang dituliskan dalam bentuk x (misalnya y = x2 -3x), mudah untuk menggunakan teknik-teknik penurunan dasar (disebut oleh para ahli matematika sebagai teknik-teknik turunan fungsi implisit) untuk mencari turunannya. Akan tetapi, untuk persamaan-persaman yang sulit untuk disusun dengan suku y saja pada salah satu sisi tanda sama dengan (misalnya x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), diperlukan pendekatan yang berbeda. Dengan sebuah teknik yang disebut turunan fungsi implisit, mudah untuk mencari turunan persamaan-persamaan multi variabel selama sudah mengetahui dasar-dasar turunan fungsi eksplisit!

Definisi Fungsi Implisit

Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).

Berikut adalah langkah - langkah untuk melakukan turunan fungsi implisit

  1. Turunkan suku-suku x seperti biasa. Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turunan fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.

  2. Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya. Untuk langkah selanjutnya, turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti menambahkan koefisien. Misalnya, jika menurunkan y2, maka turunannya menjadi 2y(dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara.

  3. Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y. Mengerjakan suku-suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi untuk turunan, akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ((f × g)' = f' × g + g × f'), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g. Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g2), mensubstitusikan suku pembilang untuk f dan suku penyebut untuk g.

  4. Sendirikan (dy/dx). Sekarang, yang harus dilakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikalikan oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian. Taktik ini dapat memudahkan proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).

  5. Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy/dx) untuk titik apa pun. Menggunakan persamaan ini untuk mencari gradien (dy/dx) untuk titik (x, y) apa pun semudah memasukkan nilai-nilai x dan y untuk titik ke sisi kanan persamaan, kemudian mencari (dy/dx).

  6. Gunakan aturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi. Aturan rantai adalah bagian pengetahuan yang penting untuk dimiliki saat mengerjakan soal-soal kalkulus (termasuk soal-soal turunan fungsi implisit). Aturan rantai menyatakan bahwa untuk fungsi F(x) yang dapat ditulis sebagai (f o g)(x), turunan F(x) sama dengan f'(g(x))g'(x). Untuk soal-soal turunan fungsi implisit yang sulit, hal ini berarti bahwa mungkin untuk menurunkan bagian persamaan individu yang berbeda, kemudian menggabungkan hasilnya.

  7. Untuk persamaan dengan variabel-variabel x, y, dan z, carilah (dz/dx) dan (dz/dy). Meskipun tidak biasa dalam kalkulus dasar, beberapa penerapan lanjut mungkin membutuhkan turunan fungsi implisit dari lebih dari dua variabel. Untuk masing-masing variabel tambahan, harus mencari turunan tambahannya terhadap x. Misalnya, jika memiliki x, y, dan z, harus mencari baik (dz/dy) dan (dz/dx). Kita bisa melakukan hal ini dengan menurunkan persamaan terhadap x sebanyak dua kali — pertama, kita akan memasukkan (dz/dx) setiap kali kita menurunkan suku yang mengandung z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz/dy) setiap kali kita menurunkan z.


Syarat Fungsi Implisit


Contoh Soal


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Gambar
SIFAT-SIFAT DETERMINAN         Kali ini, saya akan membahas tentang sifat-sifat determinan. Sifat-sifat determinan matriks sangat bermanfaat disaat menyelesaikan matriks-matriks dengan ketentuan khusus, seperti matriks dengan elemen nol, matriks segitiga bawah atau segitiga atas, dan metriks dengan baris sebanding.         Semua matriks sifat-sifat determinan matriks ini hanya berlaku untuk matriks yang memiliki ordo 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 dan seterusnya.         Karena terlalu panjang menggunakan matriks yang berordo 4 x 4, maka saya akan membahas beberapa contoh yang menggunakan sidat-sifat determinan matriks dengan menggunakan matriks yang berordo 2 x 2 dan 3 x 3. Sifat Determinan Jika Matriks A Sembarang yang semua elemen salah satu baris atau kolomnya adalah nol, maka determinan A = 0 Jika Matriks A Sembarang adalah matriks segitiga atas, matriks segi tiga bawah, atau matriks diagonal, maka deter...
Baca selengkapnya

Turunan Fungsi Dan Aturan Rantai

Gambar
TURUNAN FUNGSI DAN ATURAN RANTAI Definisi Turunan Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika. Turunan pertama fungsi y terhadap x didefinisikan sebagai: Rumus - rumus Dasar dari Turunan Fungsi Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah: Turunan Fungsi Pangkat Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus : Jadi, rumus dari turunan fungsi pangkat adalah : Turunan H...
Baca selengkapnya